人们面对这些悖论无法解决，以至于在数千年的岁月里，希腊的“几何证明”总是有意地回避着“无穷小”问题，使得数学的发展在很长的一段时间里无法突破瓶颈。

然而，真理的光芒是无法令人回避的，当人类文明的进程来到18世纪的时候，随着“微积分”的诞生，“连续数学”得到了前所未有的发展，沉默了数千年的“无穷小”问题正再次慢慢地浮出水面。

减3

淘宝

自然哲学的数学原理（全新修订本）

全5册我超喜爱的趣味数学故事书 7-9岁小学生好玩的数学课外思维训练游戏书趣味书

￥www.youxs.org

领券

购买

1687年，牛顿在他的史诗级巨著《自然哲学数学原理》一书中公开发表他的“微积分”学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了“微积分”论文。“微积分”这一锐利无比的数学工具一经面世，非凡的威力顿时展现无疑，它犹如一轮火红的太阳在近代人类文明的天空冉冉升起，各个科学领域所积压的众多疑难问题就如冰雪一样消融。

然而，“微积分”的诞生和其它任何新生的事物一样，在它的诞生之初也是不完善的。但由于它的实用价值实在太大，以至于人们忽略了其底层“逻辑体系”的建设，只顾着疯狂地开辟“微积分”新的应用领域。

然而人类是幸运的，因为人类的先行者们早就发明了无往不利的有力武器——数学。人类就是依靠这一无坚不摧的利器，一路披荆斩棘，历尽艰辛，走出了与野兽博斗的原始大森林，一路走到辉煌灿烂的现代文明。

回顾整部数学史所经历的“三次数学危机”，其核心问题正是人们对“无穷之美”的无限向往和困惑。无论是芝诺提出的“芝诺悖论”，还是希帕索斯发明的“根号2”，还是牛顿和莱布尼茨发明的“微积分”，还是康托尔发明的“集合论”。——这些都是“无穷之美”赐予人类的智慧之光。

【5本】从一到无穷大+物理世界奇遇记+给孩子的数学三书原来数学可以这样学自然科学世界经典科普名著书籍

在这个世界上，有着一种最令人惊艳的美，那就是“无穷之美”。当我们仰望那浩瀚的星空，遥想那无垠的星辰大海，我们的心会为之震憾。“无穷之美”神秘莫测，深邃而不可触摸，一直吸引着人类探寻真理的脚步。

然而就在这时，人类数千年以来避而不谈的“无穷小”问题忽然尖锐地摆到了人类的面前:“无穷小量”究竟是不是“零”？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过“常量”、“趋于零的变量”、“两个正在消逝的量的最终比”三种不同解释。莱布尼兹曾试图用和“无穷小量”成比例的“有限量的差分”来代替“无穷小量”。但是，他们始终无法解决“无穷小量”是不是“零”的问题，也无法解释“极小极小的有限量”与“无穷小量”之间到底是怎样的关系。这一问题令“微积分”的两大创始人牛顿和莱布尼茨也束手无策。“无穷小量”如一匹不羁的野马，桀骜不顺而又拿它没有办法。

1734年，本来就反对科学的宗教势力趁机向新生的“微积分”发起了攻击，其中英国的大主教贝克莱的攻击尤其猛烈，刚刚建立起来的“近代数学大厦”摇摇欲坠，第二次数学危机爆发了。

“芝诺悖论”提出的那一刻起，就是对“无穷之美”最为深刻而复杂的探究。它既置疑了“时空”的“无限可分”，又置疑了“时空”的“无限不可分”。从而引出了“时空”到底是“无限可分的”还是“无限不可分”的追问，因而引发出“运动”到底是“间断的”还是“连续的”困惑，引出了“无穷小”的“时空”与“很小很小”的“时空”之间的“矛盾关系”到底要如何“统一”起来的深刻问题。

月销18

购买

￥www.youxs.org

京东

月销17

购买

为了挽救新生的“微积分”，全世界的数学家都积极地行动了起来，开始了长达半个世纪的艰辛努力。其中贡献最大的就是大数学家欧拉，他坚持认为在“求导数”的运算中，其结果应该是“0/0”，他同时明确地指出，“数学分析”的中心应该是“函数”，并对“函数”的概念作了深化，第一次强调了“函数”的角色，弥补了牛顿和莱布尼茨建立“微积分”之初仅限于研究“曲线”而极少涉及“函数”的缺陷。

有人说，虽然“微积分”是因牛顿和莱布尼茨而诞生的，但是真正让“微积分”长大成人的却是欧拉。“微积分”与“分析学”使得“近代数学大厦”得到了前所未有的巩固，欧拉接着把整个“数学”推至“物理”领域。

人们都说，如果没有欧拉的工作，新生的“微积分”就会夭折，就不可能出现“分析学”。如果没有“微积分”和“分析学”，就不可能对“机械运动与变化”进行精确计算，就不会出现近代巨大的科技成就。

正是在欧拉的努力下，不仅避免了“微积分”被夭折的命运，反而进一步拓展了“微积分”其应用，并因此产生一系列新的“分支”，这些“分支”与“微积分”统一起来，形成了一门崭新的“分析学”。使得现代数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。欧拉也被尊为“分析的化身”。

玩儿出来的数学全套7册好玩的数学绘本儿童3-6岁幼儿园睡前故事书

￥www.youxs.org

领券

减25

淘宝

月销231

购买

除了欧拉，还有一大批数学家的贡献也是无可替代的。柯西在1821年的《代数分析教程》中指出“无穷小量”不是固定的量而是“变量”，“无穷小量”是“以零为极限”的“变量”，在此基础上，给出了现在通用的“极限”和“连续”的定义，并把导数、积分严格地建立在“极限”的基础上。也就是说，正是因为柯西用“极限”的方法“严格地”定义了“无穷小量”，才将能量无比巨大的“无穷小量”带上了“紧箍咒”。

19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托尔等人独立地建立了“实数理论”。接着在“实数理论”的基础上，建立起“极限论”的基本定理，从而使“数学分析”建立在了“实数理论”的“严格基础”之上。

“第二次数学危机”的影响是巨大而深远的。新生的“微积分”经过这次“危机”的洗礼，其底层的“逻辑基础”更加完整而系统，极大地促进了19世纪的数学的“分析的严格化”、“代数的抽象化”以及“几何非欧化”的进程。

这次危机之后，“微积分”在各个科技领域大显身手，解决了大量的数学、天文、数学问题，大大推进了“工业革命”的发展，同时也彻底解决了延续了数千年的“无穷小”问题。

月销776

￥80

淘宝

阅读贾如的自我救赎最新章节 请关注热血小说网(www.oaksh.cn)